Конспект лекций по дисциплине




НазваниеКонспект лекций по дисциплине
страница1/5
Дата конвертации29.01.2013
Размер0.64 Mb.
ТипКонспект
  1   2   3   4   5
КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

Философия математики”

для направления подготовки “Философия”


Лектор С.Н.Тронин


Казань 2012


Введение.

Краткий очерк истории математики


Перефразируя известное высказывание И.Канта, Имре Лакатос писал "Философия науки без истории науки пуста; история науки без философии науки слепа" (И.Лакатос, "История науки и ее рациональные реконструкции"). Эта мысль стала теперь практически общепринятой истиной. Поэтому, прежде чем пойдет речь о философии математики, полезно хотя бы в самых общих чертах познакомиться с историей математики, одной из самых древних наук.

В отечественной литературе принято различать четыре основных этапа (периода) эволюции (истории) математики (см., например, статью А.Н.Коломогорова "Математика" в его книге "Математика в её историческом развитии").

Начальный перод (глубокая древность) период донаучной математики. Сюда относят математику древнего Егита, Вавилона, Китая, Индии.

Затем следует период элементарной математики. Это уже научная математика, и научность связана с возникновением понятия доказательства. Математическое доказательство возникло в Древней Греции, и человеком, с чьим именем связывают первые доказательства теорем, был Фалес Милетский (ок. 625-548 до н.э.). В некотором смысле его можно даже считать первым математиком, имя которого нам известно. Период элементарной математики продолжался до середины XVII века.

Греческая (античная) математика заслуживает отдельного рассказа, так как она в конечном счете послужила источником и основой большей части всей современной математики. Приблизительно с 600 г. до н. э. по 300 г. до н.э. длился период, называемый сейчас периодом древнегреческой математики, с 300 г. до н. э. до VI в. н.э период эллинистической математики. Среди многих известных греческих математиков отметим прежде всего Пифагора (ок. 580-500 до н.э.), Евдокса (ок. 408- ок. 355 до н.э.), Евклида (ок. 356 - ок. 300 до н.э.), Архимеда (ок. 287 - 212 до н.э.), Аполлония (ок. 262 - ок. 190 до н.э.), Диофанта (возможно, III в. н.э.). Трактат Евклида "Начала" оказал ни с чем не сравнимое воздействие не только на математические исследования и на математическое образование, но, пожалуй, и на всю человеческую культуру. Еще относительно недавно эта книга занимала в Европе второе место по количеству печатных изданий (просле Библии). Как учебник, "Начала" во многих отношениях (например, в той своей части, которая относится к геометрии) фактически не имели достойных конкурентов вплоть до конца XVIII века, и окончательно были превзойдены только в XIX или даже в XX веке. Большое влияние на развитие математики (и особенно на развитие философии математики) оказали также величайшие мыслители Греции Платон (427 -347 до н.э.) и Аристотель (384 - 322 до н.э.). Аристотель, в частности, создал логику как науку. Период эллинистической математики закончился в конце первой четверти VI в. н.э., когда император Юстиниан сделал невозможной на территории Византии (Восточной Римской империи) деятельность ученых, сохранявших античные традиции. Следует отметить, что на протяжении всей истории Рима (а в дальнейшем и Византии) не известно ни одного действительно крупного математика, который был бы не греком, а римлянином. Разумеется, потребности практики постоянно требовали определенных математических знаний у достаточно большого количества людей, но в основном всё ограничивалось использованием того, что было ранее создано античными математиками. Теоретическая математика, математика как наука не развивалась, принципиально новые идеи отсутствовали. Сами же античные греки довольно пренебрежительно относились к тому, что сейчас называется прикладной математикой (называя этот род человеческой деятельности не математикой, а "логистикой").

Таким образом, в раннем средневековьи развитие математики в Европе практически прекратилось. Однако традиции античной математики не только сохранились, но и получили дальнейшее развитие в мусульманских странах. Одним из крупнейших математиков этого времени был, например, Омар Хайям (1048-1131), более известный как поэт (а также астроном, философ, богослов...). Приблизительно до XVI-XVII вв. уровень математики стран Востока (прежде всего мусульманских) был сначала намного выше, а потом в целом сопоставимым с уровнем европейской математики. Некоторые сочинения древнегреческих математиков стали известны в Европе только в обратном переводе с арабского, т.к. оригиналы были утрачены.

Возрождение математики в Европе начинается примерно с XII века. На первых порах речь идет только о простейших вычислительных навыках, необходимых, например, в торговле и финансовых операциях. Однако к XVI-му веку европейская математика достигает весьма высокого уровня, и в ряде отношений уже обгоняет древнегреческую. То принципиально новое, что внесли в математику европейские ученые XV-XVI веков, касается прежде всего развития понятия числа и (особенно) изобретения и широкого использования символьных обозначиений. Символьные обозначения почти полностью отсутствовали у греков (исключением являлся лишь Диофант, но его сочинения не пользовались, по-видимому, большой известностью), и полностью отсутствовали на Востоке. Даже алгебраические задачи (решение уравнений) решались либо в полностью словесном виде, либо с помощью геометрических трюков. Между тем нельзя представить себе современную математику, не использующую самых разнообразных символьных обозначений. В какой-то период (XVII-XIX века) доказательства математических по-сути фактов, выраженные в словесной форме, даже стали считаться чем-то недопустимым, и не относящимся к математике. Некий баланс между словесным и формульным способами выражения математических фактов и суждений был установлен лишь к концу XIX века. Так или иначе, но можно смело утверждать, что именно использование символьных обозначений привело математику к ее нынешнему состоянию, когда она считается даже чем-то вроде универсального языка всей науки. Математиком, в чьих трудах уже можно найти систему символьных (алгебраических) обозначений в близком к современному виде, был Франсуа Виет (1540-1603). Благодаря символьным обозначниям он впервые смог выразить свойства алгебраических уравнения 1-й, 2-й, 3-й и 4-й степеней и их крней в виде общих формул, а сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия.

Со середины XVII века начинается отсчет периода математики переменных величин. Его истоки связаны с именами Р.Декарта (1596-1650), И.Ньютона (1643-1727), Г.-В.Лейбница (1646-1716). Метод координат Рене Декарта (независимо открытый также Пьером Ферма) не только установил тесную связь между алгеброй и геометрией, считавшимися ранее весьма различными дисциплинами, но и содержал в своей основе понятие функциональной зависимости, быстро ставшее едва ли не центральным понятием всей математики. Без этого понятия оказалось бы невозможным создание Ньютоном и Лейбницем основ математического анализа (дифференциального и интегрального исчислений). Математический анализ (называемый еще "высшей математикой") быстро сделался главным разделом всего математического знания, и основным направлением исследований большинства ведущих математиков всего мира (фактически, по обстоятельствам того времени Западной Европы). В немалой степени это было связано и с тем, что с самого момента его создания была ясно видна перспектива приложений математического анализа к изучению физических (прежде всего механических) процессов, связанных с различными формами движения и изменения.

Начало периода современной математики отечественные историки математики (и прежде всего А.Н.Колмогоров) связывают с открытием Н.И.Лобачевским (1792-1856) первого примера неевклидовой геометрии (1826, опубликовано в 1829-1830). Кроме создания неевклидовых геометрий, крупнейшие математические события XIX века таковы строгое логическое обоснование математического анализа (прежде всего в работах Огюстена Луи Коши (1789 - 1857) и Карла Вейерштрасса (1815-1897)), создание символической логики (Джордж Буль (1815 - 1864), Огастес де Морган (1806- 1871), Готлоб Фреге (1848-1925)), создание теории множеств (Георг Кантор, 1845-1918). Этот был век бурного развития всех прежних направлений математики, и появления многих принципиально новых понятий и направлений.



  1. Что такое математика. Обзор некоторых точек зрения


Термин "математика" происходит от слова , которым греки в V веке до н.э. обозначали различные отрасли знания, а начиная с IV в. до н.э. стали называть четыре научные дисциплины геометрию, арифметику, астрономию и гармонику.

Впервые термин засвидетельствован в одном из поздних диалогов Платона (427-347 до н.э.), и принадлежит, скорее всего, ему самому.

Когда же Архит Тарентский (ок. 428-ок. 365 до н.э.) писал о своих пифагорейских предшественниках, он употреблял другое выражение "те, кто имеет отношение к ..."

Известна также интерпретация слова , в которой оно означает просто науку. Латинское название математики Mathesis.


Взгляд на математику как на науку о величинах и пространственных фигурах был общепринятым на протяжении многих сотен (если не тысяч) лет. Поскольку каждая величина с помощью подходящим образом выбранной единицы измерения может быть выражена числом, то сущность математики нередко видели в исследовании свойств и зависимостей между числами. Изучение пространственных фигур длительное время также ограничивалось их метрическими свойствами.

Такой взгляд на математику был характерен для XVII, XVIII веков, и частично для первой половины XIX века. В это время главным объектом изучения в математике служили переменные величины, а точнее, разнообразные функциональные связи между величинами.

Поэтому большинство математиков не только XVIII, но и XIX века определяли свою науку прежде всего как науку об измерении величин и фигур. В статье Д`Аламбера (1717-1783) во французской Энциклопедии математика определялась именно как наука о косвенном измерении величин. Аналогичной точки зрения придерживались крупнейший математик XVIII века Л.Эйлер(1707-1783) и живший несколько позднее не мненее крупный математик К.Ф. Гаусс (1777-1855).

Еще одно отличие математики XVIII века от математики XIX века заключался в следующем. Математика считалась, по-существу, методом, а в своих отдельных частях (например, в области дифференциальных уравнений) скорее собранием разрозненных методов решения задач, поставленных естествознанием. Математика имела калькулятивный, вычислительный и формульный (т.е. алгоритмический) характер. Этот характер математики считался самими математиками XVIII века как раз тем свойством, которое отличает ее от других наук.

Там, где приходилось встречаться с недостаточностью традиционных вычислительных алгоритмов, где требовалось применять более общие способы рассуждений, там даже не желали видеть математической проблемы.

Ярким примером такого положения дел может служить история решения Л.Эйлером знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Эйлер считал, что его (собственное) решение имеет мало отношения к математике, "...ибо это решение подкрепляется одним толко рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике" (Л.Эйлер. Письма к ученым. М.-Л., 1963. С. 153). Необходимо отметить, что современные специалисты по теория графов (важный раздел дискретной математики) единодушно считают эту решенную Эйлером задачу исходным пунктом своей науки. Однако прошло более ста лет, прежде чем теория графов получила дальнейшее развитие (уже в XX веке).


Длительное время в СССР было господствующим определение математики, данное Ф.Энгельсом (1820-1895) в работе "Диалектика природы" (1894 г.). Оно таково математика это наука, которая изучает пространственные формы и количественные отношения действительного мира (при этом упор делался на "действительный мир"). Ничего специфически "марксистского" в этом определении, разумеется, нет, это "обычная" точка зрения эмпиризма, которую многие разделяли и задолго до Энгельса. Однако в то время, когда Энгельс писал "Диалектику природы" (вторая половина XIX века), математика фактически уже "переросла" это определение, и, таким образом, теоретические представления о сущности математики уже тогда заметно отставали от уровня ее реального развития. В частности, именно философское представление о математике как науке о количественных отношениях и пространственных формах реального мира явилось главной причиной того, что математики XIX века долго не могли принять неевклидовы геометрии в качестве полноценных математических теорий.

В отличие от многих других наук, предмет которых со временем практически не меняется (например, комплекс биологических наук изучал и изучает различные виды живых организмов и все, что связано с различными аспектами проявлений жизни, и эта формулировка фактически не зависит от текущего состояния исследований в биологии), понимание того, чем является математика, сушественно менялось с течением времени, и, что принципиально важно, всегда зависело от того, чем именно математика занималась в данный момент. В дальнейшем можно наблюдать ту же самую тенденцию вся математика определяется через один или несколько наиболее актуальных на данный момент изучаемых ею объектов. Например, после появления статьи Н.Бурбаки "Архитектура математики" на некоторое время стала популярной точка зрения, согласно которой математика изучает некие "абстрактные структуры". Примерами таких структур являются структуры группы, частично упорядоченного множества и топологического пространства, а в целом, видимо, имелось в виду приблизительно то же самое, что описано в книге Н.Бурбаки "Теория множеств". Вот как интерпретируется данная концепция в книге профессионального математика Е.М.Вечтомова "Философия математики" (см. в списке литературы).

Математика, согласно Е.М.Вечтомову изучает универсальные абстракции, укорененные в бытии посредством категорий формы и количества.

Объектом математики как науки служат самые разнообразные проявления формы и количества , рассматриваемые в наиболее общем и чистом виде.

Предметом математики являются математические структуры и математические модели той или иной реальности.

Общий метод математики строгая дедукция. Общенаучный дедуктивный метод возник именно в рамках математики.

Итак, математика есть наука о форме и количестве и общих схемах их воплощения. Современная математика включает логику как науку о формах правильного мышления.

В сущности, по тому же пути следует и В.А.Канке, который в своей книге "Философия математики, физики, химии и биологии", дает определение математики, согласно которому математика фактически сводится к теории (алгебраических) категорий. Да, теория алгебраических категорий, скорее всего, станет фундаментом всей математики на ближайший период, но, с учетом уже имеющегося опыта, сводить к ней всю математику (и тем более на все времена) как минимум преждевременно. Общепринятого решения этой проблемы (и даже ее понимания) на данный момент, по-видимому, не имеется.

Однако следует отметить точку зрения известного современного французского философа Алена Бадью, который считает, что математика на самом деле это онтология (и даже так онтология это математика). Эта точка зрения нуждается в подробной расшифровке, т.к. речь идет не о той онтологии, которую можно было бы считать общеизвестной (Бадью говорит о "бытии-как-бытии", в его концепции отсутствует Dasein). Преимущество подхода Бадью в том, что полностью снимается привязка к текущему состоянию исследований, если угодно к математической моде. При этом философия математики становится частью "первой философии". Но пока эту концепцию нельзя назвать ни широко известной, ни, тем более, общепринятой.



  1. Математика и философия. Основные направления в философии математики.


Основные проблемы, которые решает философия математики, таковы осмысление сущности математики, природы и методов и методов математического мышления, отношение понятий и объектов математики к реальности, специфика математического знания, природа математического доказательства, соотношение логики и математики, сущность математической бесконечности, соотношение между чистой и прикладной математикой и т.д.

Историю философии математики можно начинать с учения Пифагора (числа как первооснова всего сущего). В ряде отношений близка к пифагореизму в истолковании математики философия Платона. Несомненно, важный вклад в философию математики (не говоря уже о логике) внес Аристотель. Эти направления пифагорейское, родственное ему платонистское, и эмпиристское, восходящее к Аристотелю отчетливо прослеживаются на протяжении всей истории философии, когда речь заходит о математике. Пифагореизм же (в современной интерпретации) можно считать "рабочим" мировоззрением современной предельно математизированной физики.

Математика, по Аристотелю, это не знание об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знание, отвлеченное от вещей. "Геометр и исследователь чисел", утверждает Аристотель, мыслят, "полагая отдельно то, что отдельно не существует", но потому, что они полагают (оставляя в абстракции) нечто, все-таки принадлежащее вещам (например, объем человеку), то "именно поэтому геометры говорят и правильно рассуждают о том, что на деле существует". Математические сущности, по Аристотелю, получены через отвлечение (абстрагирование). Они "первее по определению, но не по сущности".

В дальнйшем нельзя не отметить философские аспекты отношения к математике таких людей, как Ньютон и Лейбниц, и более подробно следует остановиться на взглядах на математику И.Канта. Кант (как и позднее Э.Гуссерль) был сторонником априоризма. Математический априоризм до сих пор занимает существенное место в философии математики (например, априористских взглядов придерживается В.Я.Перминов). Более кратко могут быть упомянуты такие концепци, икак конвенционализм (А.Пуанкаре) и номинализм. Программы обоснования математики начала 20-го века (логицизм, интуиционизм и формализм Д.Гильберта) рассматриваются далее отдельно, поэтому в данном разделе они опускаются. Заслуживает упоминания позиция Л.Витгенштейна (математика как языковая игра). Можно отметить и операционалистскую трактовку математики, данную Ж.Пиаже. В современных учебниках на русском языке (особенно написанных В.Я.Перминовым) наиболее предпочтительной называется формалистская концепция философии математики (формализм тут понимается несколько иначе, чем у Д.Гильберта, он более похож на концепцию математическиз структур Н.Бурбаки). Большое количество разнообразных концепций современных зарубежных, в основном англо-американских, философов описано в книгах В.В.Целищева и в уже упоминавшейся книге В.А.Канке. Сюда относится, например, квазиэмпиристская концепция И.Лакатоса. В основном же речь в книгах Целищева и Канке идет о представителях того направления, которое принято называть аналитической философией.

Важным классифицирующим признаком для различных концепций в философии математки является их принадлежность либо к фундаменталистскому, либо к нефундаменталистскому (социокультурному) направлению.

Фундаменталистское направление нацелено прежде всего на выясление природы математического знания, нефундаменталистское анализирует прежде всего развитие (функционирование) математики в социокультурном контексте, и закономерности этого развития. Одним из основателей нефундаментализма является И.Лакатос. Для нефундаменталистов математика есть сложная система, в которую, кроме собственно знаний, включаются производящие и воспроизводящие эти знания субъекты (в широком смысле, включая, например, научные школы и исследовательские коллективы), математические инструменты, а также цели и образцы деятельности по производству нового математического знания. Сущность математики для нефундаменталистов в закономерностях ее развития. Некоторые проблемы, интересующие нефундаменталистов влияние культурной среды на развитие математики, зависимость развития математики от внешних влияний, математика как социальный институт, и т.д. Некоторые нефундаменталисты отрицают единство математики. Подробнее см. в книге А.Г.Барабашева " Будущее математики методологические аспекты прогнозирования ". Барабашев открыто симпатизирует социокультурному направлению, но признает, что в целом фундаменталистское и нефундаменталистское направления взаимно дополняют друг друга.


И, наконец, нельзя не отметить уже упоминавшуюся выше концепцию А.Бадью. Как выяснил А.Г.Черняков, нечто подобное высказывал еще в начале 20-го века Э.Гуссерль в книге "Формальная и трансцендентальная логика". По Гусерлю, математика это формальная онтология. (Заметим, впрочем, что сейчас термин "формальная онтология" с математикой чаще всего не связывается.) Концепцию Бадью нельзя считать (во всяком случае пока) имеющей преобладающее значение, но она дает интуитивно более предпочтительные ответы на некоторые фундаментальные вопросы, стоящие перед философией математики. Впрочем, у нее имеются и серъезные недостатки.


Опишем вкратце основные положения "формалистской" философии математики, которую развивает в своих книгах В.Я.Перминов. (Отметим, что термин "формалистский" используется здесь в ином смысле, чем при описании программы обоснования математики Д.Гильберта.)

Согласно В.Я.Перминову, суть формалистского направления в философии математики выражается в следующем определении математики это наука об особых формальных структурах, лежащих в основе теоретического мышления.

Те математические теории, которые связаны в своем происхождении с конкретными сферами реальности, обладают определенным содержанием и могут быть определены на основе этого содержания арифметику можно считать наукой о количественных отношениях реального мира, геометрию наукой о пространственных отношениях, теорию вероятностей наукой о случайных и т.п.

Более глубокое проникновение в природу математического знания показывает, однако, что такого рода определения не могут быть положены в основу общего понимания математического знания, поскольку для очень многих математических теорий нельзя указать эмпирической содержательной основы. Приходится признать, что математические теории в общем случае представляют собой чистые понятийные конструкции, определяющей чертой которых является жесткое дедуктивное соподчинение между принципами и частными утверждениями, и математические теории выделяются как особый тип теорий не на основе содержания, а на основе свойственного им метода.

В этом плане математика может быть определена как наука о формальных структурах при понимании формальной структуры как системы отношений, заданных на множестве элементов произвольной природы. Таким образом, математикасогласно формалистской концепции это не учение о мире, имеющее свой предмет, а лишь совокупность логических структур, редназначенных для описания различного рода реальных связей, открываемых опытными науками.

Математическая теория рассматривается не как описание какого-то фрагмента мира, но лишь как метод, как чистая структура, предназначенная для моделирования.

Подразделение математики на элементарную и высшую, на непрерывную и дискретную, на чистую и прикладную, не противоречит единству математики, основанному на единстве ее метода.

Аналогичной позиции придерживался один из крупнейших математиков XX века Саундерс Маклейн (1909-2005), определявший математику как науку, которая ставит своей целью понимание всех возможных формальных аспектов мира путем извлечения форм из практики, развития и использования их, и последующего применения их к тем аспектам мира, ккоторые действительно формальны.


  1   2   3   4   5

Похожие:

Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по дисциплине «Общая биология»
Конспект лекций по дисциплине «Общая биология» для студентов 1 курса дневной и заочной форм обучения спец. 070800 «Экология и охрана...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций Автор-составитель, к м. н., доцент Шмелев И. А
Конспект лекций, составленный в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего образования, поможет систематизировать...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по дисциплине
Модуль основные формы оплаты труда и их влияние на результаты деятельности предприятия 51
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций «материаловедение» ч. 1 конспект лекций часть 1
Инженер-механик должен уметь правильно выбирать материал и технологию его обработки с целью получения заданной структуры и свойств,...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по теме: «Работа в программе Movie Maker»
Конспект лекций предназначен для учащихся начального профессионального образования по профессии «Оператор электронно-вычислительных...
Конспект лекций по дисциплине iconВ. Н. Масляев, Ю. Д. Федотов мелиоративная география (конспект лекций)
Мелиоративная география (конспект лекций) / В. Н. Масляев, Ю. Д. Федотов. – Саранск : копи-центр «Референт», 2010. – 112 с
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по курсу «Экономика строительства» для студентов спец. 010104 «Профессиональное обучение: промышленное, гражданское и сельскохозяйственное строительство» всех форм обучения / Сост.
Конспект лекций предназначен для оказания помощи студентам при самостоятельной работе в процессе изучения курса «Экономика строительства»...
Конспект лекций по дисциплине iconВведение в математическую лингвистику и теорию автоматов. Конспект лекций
Учебное пособие предназначено для студентов факультета Кибернетики, изучающих на пятом семестре математическую лингвистику и основы...
Конспект лекций по дисциплине iconПрограмма и курс лекций по дисциплине «История мировой литературы и искусства»
Программа и курс лекций по дисциплине «История мировой литературы и искусства» для студентов факультета связи с общественностью заочного...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по дисциплине «История исскуств и дизайна»
В это время были заложены основы современной науки, в частности естествознания, высокого уровня достигла литература, получившая с...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©tnu.podelise.ru 2013
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница