Конспект лекций по дисциплине




НазваниеКонспект лекций по дисциплине
страница2/5
Дата конвертации29.01.2013
Размер0.64 Mb.
ТипКонспект
1   2   3   4   5

Теория множеств и ее роль в современной математике. Математика как наука о бесконечном. Георг Кантор.


Теория множеств была создана Георгом Кантором в 1870-1890-х годах, и уже в 1897-м году на первом международном конгрессе математиков было признано, что она играет черезвычайно важную роль в математике. В дальнейшем, несмотря на обнаруженные парадоксы (которые после аксиоматизации теории множеств в 1907-м году были устранены), теория множеств быстро стала тем фундаментом, на котором основано все здание современной математики. Множества это та первичная "глина", из которой можно "вылепить" (точнее, было можно до создания теории (алгебраических) категорий и теории топосов) любые объекты, встречавшиеся в математике. Основное, что было сделано Кантором а) в математику была введена актуальная бесконечность (вопреки запрету, наложенному еще Аристотелем), причем оказалось, что это понятие жизненно необходимо для математического анализа ядра всей современной математики и ее приложений к физике и т.п. ; б) было показано, что существует бесконечно много различных типов бесконечностей, начиная со счетной бесконечности, каковая есть тип бесконечности множества натуральных чисел (имеет счетную мощность; тип бесконечности называется мощностью данного множества). Множество всех действительных чисел (строгое построение которого было дано тем же Кантором в начале 1870-х годов; впрочем, еще четыре математика примерно в то же время опубликовали эквивалентные конструкции) обладает так называемой мощностью континуума. Кантор показал, что не существует способа взаимно-однозначно сопоставить каждому действительному числу натурального числа, и построил бесконечную иерархию не сводимых друг к другу типов бесконечностей. К 1920-м годам вся математика того времени была переведена на теоретико-множественные "рельсы". Поскольку для математического анализа главную роль играет множество действительных чисел, и другие "большие" множества, примерно в то же время (около 1920-го года) выдающийся математик Герман Вейль с полным основанием заявил, что математика это наука о бесконечном. Относительно недавно было замечено, что еще в позднеантичное время у неоплатоников в их рассуждениях о Едином и Многом (например, у Прокла) встречаются утверждения (и их доказательства), которые, по-сути, эквивалентны некоторым теоремам теории множеств. Впрочем, еще в 1980-х годах Ален Бадью в книге "Бытие и событие" (см. также его "Манифест философии") предложил онтологическую концепцию, во многих отношениях основывающуюся именно на идеологии аксиоматической теории множеств.

Скажем еще несколько слов о понятии бесконечности. Бесконечность (в широком смысле) философская категория, используемая для описания неисчерпаемости материи и движения. В данном случае речь пойдет о другом. Бесконечность (в узком смысле) одно из важнейших понятий философии математики.

В философском плане бесконечность может быть естественно определена через понятие конечного, а именно как возможность выхода за пределы конечного, которая неизбежно предполагается уже в самых первых представлениях арифметики и геометрии. Эта же идея лежит в основе более строгих математических определений бесконечности.

Математическое мышление органически связано с идеей бесконечного в том смысле, что без допущений о возможности выхода за пределы конечного математическое рассуждение вообще не могло бы осуществиться.

В математике (и в философии математики) различают потенциальную бесконечность, состоящую в возможности постепенного, но неограниченного увеличения конечного, и актуальную бесконечность, состоящую в допущении существования бесконечного множества как завершенного.

Еще в древности философы высказывались за недопустимость в математике понятия актуально бесконечного. Аристотель считал, что завершенноая бесконечность непознаваема и не поддается представлению. Аналогично мнения придерживались, например, Н.Кузанский, К.Ф.Гаусс, Н.И.Лобачевский.

Тем не менее практика математического мышления привела к необходимости оперировать завершенными бесконечностями, и принимать математические теории, сщественно основанные на понятии актуальной бесконечности. Следует подчеркнуть, что занимающий центральное место в математике (начиная с XVII века) математический анализ (т.е. дифференциальное и интегральное исчисление) оказалось невозможно обосновать без привлечения актуально бесконечных множеств.

Кантор с самого начала работал с бесконечными множествами как с законченными объектами. Канторовская теория множеств (как теория прежде всего актуально бесконечных множеств), несмотря на встретившиеся трудности (см. раздел о парадоксах и кризисах), имела большой успех, и очень быстро оказалась в самом центре всех происходивших в то время математических событий. Оказалось возможным строить всю математику на основе первичных понятий канторовской теории множеств. В целом положение остается таким же и в нынешнее время, хотя уже появились признаки того, что математика "перерастает" теорию множеств.

Основное направление исследования понятия бесконечности в настоящее время анализ возможностей сведения бесконечного к конечному.

Существуют по крайней мере два подхода к обоснованию понятия бесконечности в математикие финитский, и реалистический (платонистский). В наиболее непосредственной форме идея непосредственного оправдания бесконечных множеств на основе их реалистического толкования была высказана К.Геделем.

Впрочем, в большинстве направлений современной философии математики понятие бесконечности не связывается с какой-либо физической реальностью. Господствующая точка зрения состоит в том, что бесконечность в математике исключительно мысленная конструкция, выполняющая определенную функцию в систематизации математических операций, которая была бы необходимой даже в том случае, если бы мироздание оказалось конечным в каком-то существенном смысле.

Это значит. что современная философия математики берет это понятие преимущественно в гносеологическо плане, рассматривая его как элемент понятийных систем, и отделяет проблему математической бесконечности от проблмы бесконечности в физике и космологии.

Если взглянуть на проблему бесконечности с точки зрения математической практики, то ситуацию можно описать следующим образом. Физический смысл (и практическое применение) имеют только конечные в том или ином смысле математические объекты (например, рациональные числа). Но дело в том, что в современной математике конечного относительно немного. Большинство уравнений не допускают точных решений, или же решения представимы в виде символических объектов (функций), которые еще надо перевести в пригодную для практического использования численную форму, а это можно сделать только приближенно. Таким образом, имеются конечные (финитные) математические объекты и их идеальные (бесконечные) прообразы. Вся вычислительная (прикладная) математика основана на финитизации бесконечных денотатов (символьных выражений) действительных чисел, и работает с конечными образами бесконечных денотатов. При этом вопрос о том, является ли бесконечный денотат (комбинация символов) актуально-бесконечным, или же потенциально бесконечным, в вычислительной математике полностью игнорируется.

Монопольное положение тории множеств как фундамента всей математики было поколеблено в 1970-х годах, когда обнаружилось, что существует огромный класс алгебраических категорий (так называемые элементарные топосы), в которых имеются внутренние средства для выражения (в принципе) всего того, что может быть выражено с помощью множеств, хотя в каждом конкретном случае получаются какие-то иные "математики". Это открытие смело можно сопоставить с открытием неевклидовых геометрий, только в данном случае речь идет об открытии бесчисленного количества не-теоретико-множественных "математик". Впрочем, математик (без кавычек) тем самым отнюдь не стало много, математика осталась единой, но черезвычайно широко раздвинула свои границы. Следует заметить, что сама теория множеств, если ее рассматривать как (алгебраическую) категорию, является примером топоса (весьма частным), а аксиомы, определяющие категории, логически независимы от аксиом теории множеств. Это означает, что в перспективе фундаментом всей математики на какое-то время может стать именно теория алгебраических категорий (созданная С.Маклейном и С.Эйленбергом около 1945-го года).


  1. Кризисы в математике. Парадоксы в логике и теории множеств


Речь идет 1) о первом кризисе оснований математики, который возник в Древней Греции во времена Пифагора после обнаружения несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, и был разрешен (по мнению современных историков математики) Евдоксом Книдским, создавшим теорию отношений; 2) о втором кризисе, который связан с созданием в 17-м веке дифференциального и интегрального исчисления, и суть его заключалась в том, что эти исчисления не имели строгого обоснования до середины 19-го века; 3) и о третьем кризисе, который начался с обнаружения парадоксов в Канторовской теории множеств. Закончен ли этот третий кризис тут мнения расходятся, хотя формально известные парадоксы к 1907-му году были устранены. Впрочем, сейчас в математике имеются и другие обстоятельства, которые можно считать либо кризисными, либо предвещающими кризис (например, отсутствие строгого обоснования у континуального интеграла).

Что же касается парадоксов, то весьма важную роль в математике сыграл известный парадокс лжеца, а также целая серия парадоксов в так называемой наивной (предшествовавшей аксиоматической) теории множеств, вызвавших кризис оснований (один из таких парадоксов сыграл роковую роль в жизни Г.Фреге). Но, возможно, одним из самых недооцененных явлений в современной математике, которое вполне можно назвать и парадоксальным, и кризисным, является решение Полом Коэном в 1963-м году первой проблемы Гильберта. Точнее, не сам факт решения, а характер этого решения.



  1. Программы обоснования математики начала XX века логицизм (Г.Фреге, Б.Рассел, А.Н.Уайтхед), интуиционизм (Л.Э.Я.Брауэр, Г.Вейль) и формализм (программа Д.Гильберта).



В работах по философии математики широко употребляется словосочетание "основания математики". Речь не идет об ”основаниях" как об основах (основы это, например, теория множеств или теория алгебраических категорий), речь идет об основаниях в смысле обоснования, т.е. в смысле логической обоснованности неких исходных предпосылок всей математики. В этом разделе мы будем употреблять термин основания в смысле обоснования.

В настоящее время под основаниями математики понимается совокупность исследований, направленных на анализ строгости доказательств и непротиворечивости математических теорий. Как особая область исследований основания математики появились в начале XX века в связи с проблемой устранения парадоксов, появившихся в теории множеств.

Первая задача оснований математики обоснование строгости признанных доказательств, и освобождение существующих математических теорий от известных парадоксов. Эту задачу надо считать в настоящее время в целом решенной.

Вторая задача оснований математики выявление условий полной надежности математических теорий в смысле строгости доказательств и отсутствия противоречий. На данный момент преобладает мнение, что в рамках чисто логических подходов эта задача нразрешима.

Парадоксы, обнаруженые в теории множеств в конце 19-го и начале 20-го веков, повлекли за собой то, что ныне называется третьим кризисом оснований математики. Многим крупным математикам показалось, что математика гибнет и ее надо спасать. Наиболее простой выход предложил в 1907-м году Э.Цермело он аксиоматизировал теорию множеств, после чего в аксиоматизированной теории известные к тому времени парадоксы стали невозможными. Заметим, что аксиомами Цермело (в виде, усовершенствованном позднее Френкелем) математики пользуются до сих пор, и это, верятно, самая важная система аксиом современной математики.

Но далеко не всех удовлетворил путь, предложенный Цермело. Было выдвинуто три большие программы обоснования (т.е. "спасения") математики, имеющие не только математическое, но и философское значение.

Первая из них, предложенная англичанами Б.Расселом и А.Н.Уайтхедом, заключалась в том, чтобы свести всю математику к логике, непротиворечивость которой предполагалась сама собой разумеющейся. Предшественником Рассела и Уайтхеда был Г.Фреге, ныне считающийся основателем аналитической философии. Идея программы логицизма была намечена Готлобом Фреге (1848-1925) еще в 1884 г., до появления парадоксов (а истоки современные иссследователи находят у Лейбница). Основное развитие эта идея получила уже в XX веке в книге Бертрана Рассела (1872-1970) и Альфреда Норта Уайтхеда (1861-1947) Principia Mathematica (3 тома, 1910-1913). Речь идет о том, что истинность и непротиворечивость математики должна обосновываться через редукцию ее основных теорий (прежде вего арифметики) к элементарным логическим исчислениям. Аксиомы математических теорий должны, как надеялись логицисты, представляться в виде тавтологий, имеющих чисто логическое оправдание. Исходным пунктом этих надежд было безусловно правильное положение, что простые требования логики являются наиболее надежной частью нашего понятийного мышления. Математика, по мнению Рассела, есть только боле зрелая логика. Логицисты исходили из того, что каждое математическое понятие может быть определено в понятиях логики, а каждое математическое утверждение может быть представлено в виде общезначимого суждения в непротиворечивом логическом исчислении. В процессе работы над своей программой Рассел и Уайтхед также аксиоматизировали теорию множеств, и формализовали значительный фрагмент содержательной математики. Однако выяснилось, что для того, чтобы, так сказать, свести концы с концами, им пришлось выйти далеко за пределы того, что большинство математиков согласны были считаь сферой действия логики. Сами исследования в рамках логицизма привели к существенной коррекции первоначальных установок логицизма, и в некотором смысле к его (само)опровержению. Оказалось, что математика по своему содержанию существенно шире логики, и что существуют математические принципы, которые заведомо не могут быть представлены в форме общезначимых логических суждений. Такими принципами являются аксиомы теории множеств аксиома выбора и аксиома бесконечности.

В 1931 году К.Гедель показал, что логика, даже при самом ее широком понимании, принятом Расселом и Уайтхедом, заведомо не полна в отношении математики в том смысле, что она недостаточна для выражения в полном объеме истин арифметики, и теорий, более богатых, чем арифметика.

Вторая программа обоснования математики, называемая интуиционизмом, была выдвинута примерно в то же время (в 1907-м году) голладцем Л.Э.Я.Брауэром (1881-1966). Брауэр утверждал, что истинность и обоснованность математических теорий должна опираться исключительно на собственные интуиции математики, и прежде всего на первичную интуицию числа и на интуитивное представление о правильной математической конструкции. Брауэр был противником формализации и формальной аксиоматизации, и считал логику частью математики. Отрицалось существование актуально бесконечных множеств, и отрицалась законность некоторых логических средств доказательства, в частности, закона исключенного третьего, и принципа доказательства от противного применительно к бесконечным объектам. Математический объект, по Брауэру, существует в том случае, если он либо дан нам в виде интуитивно ясного, либо может быть конструктивно построен, исходя из некоторых первичных интуитивно ясных объектов. При этом конструктивность не получала точного определения, основной упор делался на интуитивную ясность. Заметим, что такие объекты в качестве существующих и непротиворечивых признаются всеми математиками, но Брауэр, в отличие от многих, ограничивал круг существующего в математике только такими объектами. Брауэр также считал математику особым родом умственной деятельности, для которого естественный язык и логика не являются обязательными и даже адекватным средствами выражения. Логика становилась не слишком существенной частью самой матматики. Все это означало призыв к созданию какой-то совершенно новой математики, лишь частично совпадавшей с уже известной. Одним из последователей Брауэра некоторое время был крупный математик (известный также своми работами по физике и философии) Герман Вейль.

Интуиционистская программа в целом должна быть признана несостоятельной, так как в рамках интуиционистской математики невозможно построить многие важные разделы современной математики (прежде всего математический анализ), имеющие практические применения.

Наконец, несколько позднее со своей программой обоснования математики выступил один из ведущих математиков начала 20-го века Д.Гильберт (1862-1943). Суть его замысла состояла в том, чтобы брать каждую отдельную математическую теорию, формализовывать ее, аксиоматизировать, и специальными методами, сугубо конструктивными и не использующими понятия актуальной бесконечности (финитными) обосновывать непротиворечивость и полноту системы аксиом этой теории. Полнота здесь означает, что каждое содержательно истинное в данной теории утверждение после формализации должно формально выводиться из не более чем счетного перечня аксиом с помощью допустимого набора правил вывода. Именно это центральное в программе Гильберта предположение оказалось в конечном счете неверным вследствие теоремы Геделя о неполноте.

Как уже было сказано, две другие программы обоснования математики также оказались несостоятельными с точки зрения достижения тех целей, ради которых они были задуманы. Тем не менее, отдельные фрагменты этих программ сохраняют свою значимость по сей день, и совершенно очевидно, что те усилия, которые были приложены создателями программ обоснования, не пропали даром. Например, усилиями логицистов и членов команды Гильберта в значительной степени была создана математическая логика в ее современном виде. Что касается интуиционизма, то интуиционистскими методами не удалось, например, получить существенную часть теорем математического анализа, который со времен Ньютона и Лейбница остается ядром всей современной математики, и в особенности ее приложений к физике и технике. Однако после появления в 1930-х годах строгого понятия алгоритма эстаферу от интуиционизма принял математический конструктивизм, представители которого внесли немалый вклад в современную теорию вычислимости. Кроме того, в 1970-е и 1980-е годы обнаружились существенные связи между некоторыми идеями интуиционистов (даже теми, которые казались ранее абсурдными) и математической теорией топосов. Математика, имеющаяся в некоторых топосах, весьма напоминает ту, которую пытались создать интуиционисты.


1   2   3   4   5

Похожие:

Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по дисциплине «Общая биология»
Конспект лекций по дисциплине «Общая биология» для студентов 1 курса дневной и заочной форм обучения спец. 070800 «Экология и охрана...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций Автор-составитель, к м. н., доцент Шмелев И. А
Конспект лекций, составленный в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего образования, поможет систематизировать...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по дисциплине
Модуль основные формы оплаты труда и их влияние на результаты деятельности предприятия 51
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций «материаловедение» ч. 1 конспект лекций часть 1
Инженер-механик должен уметь правильно выбирать материал и технологию его обработки с целью получения заданной структуры и свойств,...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по теме: «Работа в программе Movie Maker»
Конспект лекций предназначен для учащихся начального профессионального образования по профессии «Оператор электронно-вычислительных...
Конспект лекций по дисциплине iconВ. Н. Масляев, Ю. Д. Федотов мелиоративная география (конспект лекций)
Мелиоративная география (конспект лекций) / В. Н. Масляев, Ю. Д. Федотов. – Саранск : копи-центр «Референт», 2010. – 112 с
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по курсу «Экономика строительства» для студентов спец. 010104 «Профессиональное обучение: промышленное, гражданское и сельскохозяйственное строительство» всех форм обучения / Сост.
Конспект лекций предназначен для оказания помощи студентам при самостоятельной работе в процессе изучения курса «Экономика строительства»...
Конспект лекций по дисциплине iconВведение в математическую лингвистику и теорию автоматов. Конспект лекций
Учебное пособие предназначено для студентов факультета Кибернетики, изучающих на пятом семестре математическую лингвистику и основы...
Конспект лекций по дисциплине iconПрограмма и курс лекций по дисциплине «История мировой литературы и искусства»
Программа и курс лекций по дисциплине «История мировой литературы и искусства» для студентов факультета связи с общественностью заочного...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по дисциплине «История исскуств и дизайна»
В это время были заложены основы современной науки, в частности естествознания, высокого уровня достигла литература, получившая с...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©tnu.podelise.ru 2013
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница