Конспект лекций по дисциплине




НазваниеКонспект лекций по дисциплине
страница3/5
Дата конвертации29.01.2013
Размер0.64 Mb.
ТипКонспект
1   2   3   4   5

Аксиоматический метод в математике. Формализация. Математическое доказательство.


Аксиоматический метод является едва ли не основным методом организации и развития математического знания. Появившись еще в древнегреческой математике (прежде всего у Евклида), он прошел три основные этапа развития. Этап содержательной аксиоматизации, когда аксиомы выражали самоочевидные свойства какой-то одной и очень конкретной системы математических объектов, сменился в середине 19-го века этапом полуформальной аксиоматизации, суть которого в том, что аксиомы лишаются статуса самоочевидности, и становятся просто определением математического объекта, а объектов (или систем объектов), удовлетворяющих данным аксиомам, оказывается, как правило, очень много. Критически значимым для метода полуформальной аксиоматизации оказался 1899-й год, когда Д.Гильберт в своей книге "Основания геометрии" представил исчерпывающую аксиоматизацию евклидовой геометрии (у самого Евклида были существенные пробелы). Полуформальный аксиоматический метод остается основным "орудием труда" математиков и по сей день. Но примерно в то же время (несколькими годами позднее), когда вышла книга Гильберта, были заложены и основы метода формальной аксиоматизации. Обнаружилось, что все содержательные утверждения, которые возможны в математике, могут быть выражены в виде предложений (формул) особого символического языка (точнее разных языков примерно одного и того же типа, называемых сейчас языками первого порядка). В частности, формулами являются и аксиомы. Это дало возможность точно определить математическое доказательство как конечную последовательность формул (предложений), получающихся из аксиом по точно определенным правилам. Сами математические доказательства, определенные таким способом, стали объектами изучения в математике. Появилась возможность строго доказывать полноту (или неполноту), непротиворечивость и другие свойства формализованных теорий.


Поговорим о формализации в математике несколько подробнее.

Формализация метод выявления и уточнения научного знания путем придания ему строго фиксированной формы.

Одним из таких методов является аксиоматизация, т.е. построение аксиоматической теории. В этом случае исходному знанию, которое первоначально является интуитивным, носит содержательный характер и описывается на естественном языке, придается определенная структура выделяются наиболее общие утверждения, которым придается статус аксиом, все остальные положения теории выводятся чисто логически из этих аксиом в качестве теорем; все термины, кроме исходых, входящих в аксиомы, вводятся по определению и их можно использовать тольо в смысле данных определений. Впервые метод формализации был применен при построении первой логической теории силлогистики. Несколько позже этот метод Аристотеля был использован Евклидом при построенн классической геометрии.

Строго говоря, употребление естестенного языка при формализации является нежелательным. Именно по этой причине аксиоматика Евклида оказалась не полной. Ему не удалось в качестве аксиом задать все свойства геометрических объектов, которые реально использовались при доказательстве теорем. Ряд положений он применял интуитивно, неявным образом опираясь на термины, смысл которых не был формализован. Полную систему аксиом для евклидовой геометрии впервые построил Д.Гильбрт в книге "Основания геометрии" (1899 г.).

Более совершенным методом формализации является метод построния формальных теорий исчислений. С этой целью предварительно осуществляется формализация естественного языка, т.е. создается специальный язык символов. В этом языке задаются правила порождения осмысленных последовательностей символов (например, формул), которые становятся содержательными утверждениями благодаря их интерпретации. Отдельные утверждения объявляются аксиомами. Ввводятся правила преобразований одних последовательностей символов в другие, которые выступают в качестве логических правил дедукции. При этом сама дедукция превращается в формальный вывод, т.е. в такую последовательность шагов, осуществление которых не требует обращения к смыслу используемых понятий. Тем самым формализуется содержательное понятие доказательства. В настоящее время такой метод формализации широко применяется в математике и логике.

Другим примером использования мтода формализации является построение формального аналога интуитивного понятия алгоритма. Было предложено несколько способов такой формализации, которые оказались эквивалентными друг другу. Это обстоятельство подтверждает тезис Чёрча, высказанный им в 1936 году, о том, что предложенные формальные аналоги полностью описывают смысл исходного интуитивного понятия алгоритма.

Метод формализации является важным теоретическим методом познания, т.к. целый ряд вопросов может быть решн только при наличии соответствующих формальных построений. Относительно формализованных систем знания (исчислений или теорий) ставятся и решаются вопросы об их непротиворечивости (т.е. о невозможности доказательства в системе некоторого утверждения и его отрицания), о полноте (т.е. о доказательстве в ней каждого содержательно истинного утверждения, которое может быть сформулировано на языке теории). Построение формального аналога понятия алгоритма позволило доказывать теоремы о неразрешимости некоторых проблем, т.е. о несуществовании алгоритмов,решающих эти проблемы.

Д.Гильберт выдвинул программу обоснования математики, первым пунктом которой было требование ее формализации. Однако последущие исследования показали ограниченность метода формализации. Так, в 1931 году К.Гёдель доказал теорему о том, что обычная арифметика натуральных чисел в принципе не может быть формализована так, чтобы эта формализация оказалась одновременно непротиворечивой и полной. Все истинные предложения арифметики нельзя вывести ни из какой фиксированной системы аксиом. Это указывает на принципиальную неустранимость содержательных методов исследования даже в такой науке, как математика.


Что касается "обычных" математических доказательств (в полуформально аксиоматизированных теориях, каковыми является большинство математических теорий), то здесь центральное место занимают вопросы о строгости и достоверности таких доказательств. По-существу, единственной разработанной теорией, решающей вопросы о строгости и достоверности положительно, является концепция В.Я.Перминова, исходящая из допущения априористской природы математического знания. Для сторонников нефундаменталистского подхода к философии математики эта концепция, по-видимому, неубедительна, так как с социокультурной парадигмой априоризм несовместим.

Тем не менее, рассмотрим вопрос об априоризме несколько подробнее, так как именно на допущении о факте априорности первичных математических понятий основывается, в суности, единственное сколь-нибудь убедительное обоснование того, что математические доказательства являются в принципе надежно обоснованными.

Математическим априоризмом называется такой взгляд на природу математических понятий, согласно которому они отражают структуру не реальности, а самого разума и в этом смысле являются независимыми от опыта. Такое их понимание впервые вводится Лейбницем, и поддерживается И.Кантом (1724-1804), играя важную роль в его теории познания. С точки зрения Канта, исходные положения арифметики и геометрии являются концептуальным выражением представлений о пространстве и времени, имеющих внеопытную природу. Математика изучает именно их, а не свойства (физической) реальности.

Несколько подробнее скажем о взгляде Канта на математику. Вся математика и математическая физика отнесены Кантом к области созерцания. Кантовское определение математики таково

Математика мышление о предметах, конструируемых рассудком в образах чистого созерцания (т.е. созерцания, свободного от ощущений).

Все, что измышляет чистый разум вне созерцаний ("дикурсивное мышление" или "трансцендентальные идеи") Кант относил к метафизике.


Возвращаясь к математическому априоризму, следует сказать, что объективные предпосылки его возникновения заключены в самом характере исходных представлений математики, их устойчивости и интуитивной ясности. Априористская концепция математики является попыткой объяснить эти особенности математического знания.

В XIX веке ряд философов пытался примирить математический априоризм с опытным и эволюционным пониманием теоретического знания. Согласно Спенсеру, стороны реальности, важные для выжэивания рода, закрепляются в механизмах мышления и затем выступают в качестве ьезусловных внешних предписаний мыслительной деятельности. Априорное для индивида, с этой точки зрения, является апостериорным для рода и может быть объясненоисходя из приспособительной природы знания, а не из предположения о существовании неизменных врожденных форм чувственности. Эта идея лежит в основе эволюционной эпистемологии, которая развивалась в XX веке в работах К.Поппера (1902-1994), К.Лоренца и др. Эволюционное объяснение априорного знания приводит к представлению о том, что устойчивость и надежность исходных принципов математики и логики не явлется абсолютной, и они могут быть заменены в будущем некоторыми другими принципами, более адекватными с точки зрения приспособления к среде.

Попытка развития концепции чистого априоризма, свободного от натурализма и субъективизма, была предпринята Э.Гуссерлем (1859-1938) в "Логических исследованиях" (1901). По Гуссерлю, всякий акт опытного восприятия мира связан с активностью разума, порождающего чистые эйддейтические формы, не подверженные историческому изменению. Априорное (эйдейтическое) знание у Гусерля не является независимым от опыта в своем генезисе, но оно безусловно независимо от нго в своем статусе в смысле невозможности его критики со стороны опыта. Исходя из наблюдения актов измерения и счета человеческое сознание, по Гуссерлю, восходит к чистым и неизменным математическим формам, образующим структуру мышления, приложимую к определенным сферам опыта или к опыту в целом. Априористская концепция Гусерля построена на убеждении, что сама активность мышления способна преодолевать ограниченность субъективного и коллективного опыта и от частного и субъективного опыта восходить к мысленным формам, имеющим абсолютное значение для познания.

Существуют также попытки объяснить природу математического априоризма исходя из законов функционирования языка (Н.Хомский, Я.Хинтикка), или из понятия деятельности (Д.Лукас) и др.

Изложим теперь основные положния той версии математического априоризма, которая развивается В.Я.Перминовым.

Перминов признает, что в традиционном априоризме имеются слабые места, уязвимые для критики. Например, является неясным понятие чистого созерцания, которое способно доставлять нам исходные сведения о математических объектах, обладающие самоочевидностью и вневременной значимостью. Что касается позиции Гуссерля, то, исключив анализ целей мышления как неприемлемую метафизику, он (Гуссерль) вынужден выводить нормы мышления из самого его материала, что неизбежно возвращает его к идее относительности всех принципов.

Перминов начинает с утверждения о том, что в процесс действия мы необходимо предписываем реальности некоторые общие требования к предмету, оправданные с точки зрения принципиальной возможности действия реальность представляется как состоящая из конечных предметов, разделенных в пространстве и времени, идеально стабильных и аддитивных в смысле независимости своих свойств от увеличения или уменьшения совокупности. Вся реальность рассматривается при этом как неограниченная или способная к неограниченному увеличению совокупности такого рода примеров. Эти представления, порождаемые деятельностью наряду с общими субъектно-объектными категориями, Перминов называет предметной (или категориальной) онтологией (идеальными предметными представлениями). Исходные очевидности элементарной математики могут быть теперь поняты как представления, заданные структурой предметной онтологии.

С этой точки зрения интуитивной основой математики являются не представления опыта, а предметная (категориальная) онтология как определенный аспект универсальной праксеологической онтологии. Этот вывод в целом согласуется с кантовской характеристикой математического мышления. Однако следует отказаться от понятия времени как интуитивного основания арифметики. Деятельностный анализ понятия числа показывает, что оно фиксирует в себе только структурные аспекты универсальной предметности и не имеет отношения к идее процесса в его объетивном или субъективном понимании.

Более подробно с концепцией В.Я.Перминова можено познакомиться по его книгам "Философия и обоснование математики" и "Развитие представлений о надежностьи математического доказательства".

В целом надо, однако, признать, что современная теория познания еще далека от общепризнанного решения проблемы априоризма. Прояснение природы математического априоризма остается одной из наиболее глубоких проблем современной философии математики и теории познания в целом.


  1. Теоремы К.Геделя и их значение


Речь идет о двух теоремах, доказанных Куртом Геделем (1906-1978), и опубликованных в 1932-м году. Первая теорема (теорема Геделя о неполноте) утверждает, что в любой достаточно богатой формализованной и аксиоматизированной математической теории при условии ее непротиворечивости существуют утверждения содержательно истинные, но не выводимые формально из аксиом. "Достаточно богатая" здесь означает, что аксиомы данной теории позволяют определить в ее рамках натуральные числа со всеми их свойствами. В частности, сама формализованная и аксиоматизированная теория натуральных чисел (арифметика) удовлетворяет условию первой теоремы Геделя. Для доказательстве этой теоремы Гедель особым образом построил формулу, котрая утверждала свою невыводимость из аксиом. Ситуация очень напоминает парадокс лжеца если эта формула представляет собой истинное утверждение: то она невыводима, а если не истинна, то выводима, а следовательно, истинна. Но тогда вся теория противоречива. Вторая же теорема Геделя гласит, что непротиворечивость достаточно богатой формализованной теории не может быть доказана средствами самой этой теории. Несколько лет спустя А.Тарским и А.Черчем были доказаны две другие важные теоремы, в некотором смысле близкие к первой теореме Геделя и дополняющие ее.

Появление всех этих теорем имело следующие непосредственные последствия. Во-первых, стало окончательно ясно, что невозможно достичь целей, провозглашенных логицистами математика, даже арифметика, не сводится к формальной логике. А во-вторых (и это оказалось гораздо более существенным) из теорем Геделя следовало, что и программа Гильберта обречена на неудачу. В самом деле, основной гипотезой, на которую опирался Гильберт, было предположение о том, что в каждой теории после ее формализации и аксиоматизации (и если она при этом окажется непротиворечивой) любую ее теорему можно формальным образом вывести из аксиом. Первая теорема Геделя утверждает, что для самых интересных математических теорий (арифметика, теория множеств и т.п.) это невозможно в принципе.

Заметим, что в 1978 году Пэрис и Харрингтон нашли вполне конкретную теорему о натуральных числах (так называемую усиленную теорему Рамсея), которую невозможно формально вывести из аксиом натуральных чисел. Подробности можно найти, например, в книге Ю.И.Манина "Вычислимое и невычислимое", с. 100.



  1. Существование математических объектов. Математический платонизм. Аргументы "за" и "против".


Одной из главных проблем в философии математики является проблема статуса математических объектов существуют ли они, и если да, то в каком смысле. Общепринятая в настоящее время в математике точка зрения (предложенная Д.Гильбертом) заключается в следующем математический объект "существует" в том и только в том случае, если его определение логически непротиворечиво. Безусловно "существующими" считаются объекты, допускающие конструктивное построение, исходя из неких первичных простых объектов, существование которых считается очевидным. Таким образом, в этом случае необходимо говорить об особом понимании термина "существует", заметно отличающемся, например, от понимания, принятого в естественных науках. С точки зрения естественных наук (и некоторых философов) математические объекты "не существуют". Что, впрочем, нисколько не мешает им явно или неявно присутствовать и играть важную (часто - решающую) роль в получении и формулировках огромного числа научных результатов из самых разнообразных наук (и не только естественных). Поэтому можно утверждать, что в случае математики речь идет об особого рода реальности, не выражаемой через реалии физического мира. Математический платонизм заключается в признании наличия особого "мира идей", в котором и пребывают "первопричины", сущности математических объектов. Математика как человеческая деятельность с точки зрения платонизма оказывается выражением реалий этого мира идей на особом (математическом) языке. Суть математического платонизма в том, что математические объекты истолковываются как внечувственные сущности, существовавшие до появления математики и математических теорий. Математики только открывают их, а не изобретают. Исходные объекты математики(числа, множества, фигуры, функции и т.п.) понимаются в математическом платонизме как непосредственное отражение в понятиях идеальной внечувственной реальности.

Взглады на природу математических абстракций, которые можно назвать реалистическими, или платонистскими, высказывались Лейбницем, Больцано, Г.Фреге, Б.Расселом, К.Геделем и многими другими.

Г.Фреге полагал, что законы логики обладают реальной значимостью в том смысле, что они соответствуют некотрым фундаментальным сущностям, открытым для нашего разума непосредственно и в законченной форме.

Б.Рассел связывал математичесие понятия с универсалиями, необходимо присутствующими в нашем языке. Делая высказывание "человек находится в комнате", мы, по мнению Рассела, фиксируем два предмета (человек и комната), доступные чувственном исследованию, и отношение "находиться в", которое внечувственно, но не менее реально. Математические понятия, по мнению Рассела, относятся именно к такого рода внечувственной реальности.

С точки зрения К.Геделя, адекватное решение проблемы обоснования математики нуждается в допущении особого рода внечувственных предметов, точно так же как обоснование физики нуждается в допущении реального существования предметов опыта. По мнению Геделя, мы должны допустить и существование и особой интеллектуальной (внечувственной) интуиции, позволяющей нам фиксировать основные свойства математических предметов.

Широко распространено понимание того, что математика, основанная на теории множеств, имеет явную тенденцию к платонистскому (само)восприятию множества, функции, числа, и другие объекты субъективно воспринимаются математиком как нечто столь же реальное и субстанциальное, как и объекты физического мира, и практика работы математика не дает никаких примеров, противоречащих такому восприятию. В этой связи принято говорить о "рабочем платонизме" большинства математиков, активно занимающихся научными исследованиями.

Например, утверждается, что множества следует считать реально существующими в том смысле, что в математическом понятии множества выражены прежде всего свойства реальных предметных множеств, непосредственно схватывемых нашими чувствами. При такой трактовке реальности платонизм оставляет идею внечувственности математических предметов и приближается к традиционному эмпирическому воззрению на природу математики.

Известный американский специалист по философии математики П.Бенацерраф предложил следующую цепочку рассуждений, которая, по его мнению, доказывает ложность математического платонизма


  1. Люди существуют в пространстве и времени.

  2. Если существуют абстрактные математические объекты, они существуют вне пространства и времени.

  3. Если существуют абстрактные математические объекты, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательного доступа.

Следовательно,

  1. Если математический платонизм верен, тогда человеческие существа не не могут иметь к абстрактным математическим объктам познавательного доступа.

  2. Человеческие существа имеют-таки математическое знание.

Следовательно,

  1. Математический платонизм неверен.


В статье Н.С.Розова "Социологический реляционизм С.Фукса и объяснение “рабочего платонизма” в математике" (журнал Философия науки, 2006, 3, С. 39-48), обосновывается точка зрения, согласно которой позиция математиков, разделяющих идеи математического платонизма, есть всего-навсего коллективная иллюзия, которая, впрочем, не вредит фатально результатам их (математиков) работы.

Ярким примером диаметрально противопоожной точки зрения является позиция крупного современного английского физика и математика Роджера Пенроуза, высказанная им в книге "Тени разума". Пенроуз полагает, что существование платоновского мира идей прямо следует из теоремы Геделя о неполноте.

Следует отметить также, что в последние годы два известных математика, А.Н.Паршин (чл.-корр. РАН) и А.Ю.Хренников, независимо друг от друга предприняли попытки построения математических моделей платоновского мира идей, причем независимо друг от друга выбрали принципиально одинаковые подходы (на основе так называмых p-адических чисел). Детали можно узнать в их книгах, приведенных в списке литературы.

Концепция математического платонизма активно критикуется философами, однако в их аргументации (например, в приведенном выше рассуждении П.Бенацеррафа) имеются и слабые места. Что, возможно, еще существеннее, критики платонизма не могут предложить никакой столь же интуитивно убедительной для математиков альтернативы. Представления, находящиеся в русле аналитической философии (не говоря уже о концепциях, испытывающих влияние постмодернизма) не могут объяснить, например, "непостижимую эффективность математики в естественных науках" (Э.Вигнер), в то время как платонизм некое объяснение предлагает. Нельзя не упомянуть в связи с платонизмом и о теории наблюдения в квантовой физике, согласно которой сознание наблюдателя в принципе невозможно представить расположенным в том же (физическом) мире, в котором находится наблюдаемый объект. Так или иначе, налицо серьезная проблема, выходящая далеко за рамки собственно философии математики.

Отметим еще и концепцию А.Бадью, более близкую к платонистской точке зрения, чем к формально-языковой или к прямолинейно материалистической. (Сам Бадью говорит о "платоновском жесте".) У Бадью математика оказывается одним из языков, нак которых с нами "говорит" Бытие, или (пользуясь метафорой Хайдеггера) одним из "домов Бытия". Впрочем, возможно, что следовало бы говорить о различных "квартирах" в "Доме Бытия".

1   2   3   4   5

Похожие:

Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по дисциплине «Общая биология»
Конспект лекций по дисциплине «Общая биология» для студентов 1 курса дневной и заочной форм обучения спец. 070800 «Экология и охрана...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций Автор-составитель, к м. н., доцент Шмелев И. А
Конспект лекций, составленный в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего образования, поможет систематизировать...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по дисциплине
Модуль основные формы оплаты труда и их влияние на результаты деятельности предприятия 51
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций «материаловедение» ч. 1 конспект лекций часть 1
Инженер-механик должен уметь правильно выбирать материал и технологию его обработки с целью получения заданной структуры и свойств,...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по теме: «Работа в программе Movie Maker»
Конспект лекций предназначен для учащихся начального профессионального образования по профессии «Оператор электронно-вычислительных...
Конспект лекций по дисциплине iconВ. Н. Масляев, Ю. Д. Федотов мелиоративная география (конспект лекций)
Мелиоративная география (конспект лекций) / В. Н. Масляев, Ю. Д. Федотов. – Саранск : копи-центр «Референт», 2010. – 112 с
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по курсу «Экономика строительства» для студентов спец. 010104 «Профессиональное обучение: промышленное, гражданское и сельскохозяйственное строительство» всех форм обучения / Сост.
Конспект лекций предназначен для оказания помощи студентам при самостоятельной работе в процессе изучения курса «Экономика строительства»...
Конспект лекций по дисциплине iconВведение в математическую лингвистику и теорию автоматов. Конспект лекций
Учебное пособие предназначено для студентов факультета Кибернетики, изучающих на пятом семестре математическую лингвистику и основы...
Конспект лекций по дисциплине iconПрограмма и курс лекций по дисциплине «История мировой литературы и искусства»
Программа и курс лекций по дисциплине «История мировой литературы и искусства» для студентов факультета связи с общественностью заочного...
Конспект лекций по дисциплине iconКонспект лекций по дисциплине «История исскуств и дизайна»
В это время были заложены основы современной науки, в частности естествознания, высокого уровня достигла литература, получившая с...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©tnu.podelise.ru 2013
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница